Một khái niệm quan trọng là một hệ cơ sở trực giao của một không gian Hilbert H: đây là một hệ {ek}k ∈ B của H thỏa mãn:

1. Các phần tử được chuẩn hóa: Mọi phân tử của hệ đều có chuẩn là 1: ||ek|| = 1 với mọi k trong B
2. Các phần tử trục giao với nhau: Bất kì hai phần tử khác nhau nào của B cũng vuông góc với nhau: <ek, ej> = 0 với mọi k, j trong B với k ≠ j.
3. Span trù mật: span tuyến tính của B là trù mật trong H.

Chúng ta cũng dùng các từ ngữ dãy trực chuẩn (orthonormal sequence) và tập trực chuẩn (orthonormal set).

Các ví dụ về hệ cơ sở trực giao bao gồm:

• tập hợp {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} tạo thành một cơ sở trực giao cho R3
• dãy {fn: n ∈ Z} với fn(x) = exp(2πinx) tạo thành một hệ cơ sở trục giao cho không gian các hàm phức L2([0,1])
• Hệ {eb: b ∈ B} với eb(c) = 1 nếu b=c và 0 cho trường hợp khác, tạo thành một hệ cơ sở trực giao của l2(B).

Chú ý rằng trong trường hợp không gian vô hạn chiều, một cơ sở trực giao không phải là một cơ sở theo nghĩa của đại số tuyến tính; để phân biệt hai khái niệm này, cơ sở sau cũng được gọi là cơ sở Hamel. Rằng span (hay còn gọi là "bao tuyến tính") của các vectơ cơ sở là trù mật nghĩa là mỗi vectơ trong không gian có thể được viết ra như là giới hạn của một chuỗi vô hạn và tính chất trực giao suy ra rằng các phân tích này là duy nhất.

Sử dụng bổ đề Zorn, người ta có thể chứng minh rằng mọi không gian Hilbert chứa một hệ cơ sở trực giao; hơn nữa, hai hệ cơ sở trực giao bất kì của cùng một không gian sẽ có cùng độ đếm|lực lượng|bảng số (cardinality). Một không gian Hilbert là khả ly nếu và chỉ nếu nó có một hệ cơ sở trực giao đếm được.

Bởi vì tất cả các không gian Hilbert vô hạn chiều khả ly (tách được) được là isomorphic, và bởi vì hầu hết các không gian Hilbert sử dụng trong vật lý là khả ly, khi các nhà vật lý nói về không gian Hilbert họ muốn nói đến các không gian tách được.

Nếu {ek}k ∈ B là một cơ sở trực giao của H, thì mọi phần tử x của H có thể được viết là

x = ∑ k ∈ B ⟨ e k , x ⟩ e k {\displaystyle x=\sum _{k\in B}\langle e_{k},x\rangle e_{k}}

Ngay cả nếu như B không đếm được, chỉ có đếm được các số hạng trong tổng đó là khác không, và do đó biểu thức này là được định nghĩa tốt. Tổng này cũng còn được gọi là khai triển Fourier của x.

Nếu {ek}k ∈ B là một cơ sở trực giao của H, thì H là isomorphic với l2(B) theo nghĩa sau đây: tồn tại một song ánh(bijective) tuyến tính map Φ: H → l2(B) sao cho

⟨ Φ ( x ) , Φ ( y ) ⟩ = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle \Phi \left(x\right),\Phi \left(y\right)\rangle =\langle x,y\rangle }

với mọi x và y trong H.